Чему равно число e в математике? Как называется оно. Что значит 1 е

Содержание

Число e может быть определено несколькими способами.

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен \right) \,\!» width=»» height=»» />.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

\right)^n.» width=»» height=»» />

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ).

Интересные факты

В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN2 :

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e , которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число » width=»» height=»» />, а не » width=»» height=»» />.

Чему равно число «e» в математике? Как называется оно?

e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920

Эта фигатень называется экспонентой.

число е, оно же основание нат. логарифмов равно пределу функции у=(1 + 1/х) ^x, если х стремится к бесконечности.

число е известно тем, что функция е^x и при дифференцировании и при интегрированиии даёт один и тот же результат — е^x

Экономика

При расчете сложных процентов число е возникает естественным образом.

Предположим, у вас есть определенная сумма денег п_или, инвестировать под процентную ставку i% годовых.

Если оставить деньги на 1 год, по истечении этого времени у вас будет:

Еще через год, не прикасаясь к нему, вы получите:

И продолжая таким образом п лет:

Теперь вспомним одно из определений e:

Это немного похоже на выражение для P, поэтому должна быть связь.

Распределяем номинальную процентную ставку я в п периодов времени, таким образом, сложная процентная ставка будет i / n:

Это выражение немного больше похоже на наш предел, но все же не совсем то же самое.

Однако после некоторых алгебраических манипуляций можно показать, что, сделав эту замену переменной:

А что между клавишами, даже если написано буквой час, равно аргументу предела, определяющему число e, пропуская только при переходе к пределу.

Давайте сделаемчас → ∞, а то, что находится между фигурными скобками, становится числом а также. Это не означает, что нам нужно бесконечно долго ждать, чтобы вывести деньги.

Если присмотреться, при выполнении ч = п / я и стремясь к ∞, мы фактически распределили процентную ставку в очень и очень маленькие промежутки времени:

Это называется непрерывное компаундирование. В таком случае сумму денег легко рассчитать так:

Где i — годовая процентная ставка. Например, при внесении 12 евро под 9% в год посредством непрерывной капитализации через год у вас есть:

ЧИСЛО Е

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e –kt , где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log_e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Ne kt . Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I₀e –kt , где k = R/L, I₀ – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e –kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Se tr /100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log₁₀ x равна (1/x)log₁₀ e, тогда как производная от log_e x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2 x равна 2 x log_e 2, тогда как производная от e х равна просто e x . Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = log_b x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = b x имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 10 7 log_1/e(x/10 7 ) (см. также ЛОГАРИФМ).

Интересные факты

В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN2 :

Источники