Решение уравнений с модулем. Как снимать модуль

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака. И не важно какой знак перед числом: плюс (+) или минус (-). Да, плюс не ставится, обычно.
Пример: |-5| = 5 и |61,5| = 61.5. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: |−a|=|a|.

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Кратко: |a| = -a если a < 0 и |a| = a если a ≥ 0.

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Теперь немного усложним задачу. Например: |2x+1|=5
Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда|2x+1|=2x+1, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда |2x+1|=−(2x+1)=−2x−1.
В первом случае наше уравнение перепишется так: |2x+1|=5⇒2x+1=5
И внезапно получается, что подмодульное выражение 2x+1 действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа: 2x+1=5⇒2x=4⇒x=2
Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение |f(x)|=a, причём a≥0 (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: |f(x)|=a ⇒ f(x) = ±a
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Отдельно рассмотриваем, когда справа стоит часть с плюсом, и отдельно — когда с минусом.

А теперь рассмотрим вот такое уравнение: |3x−2|=2x
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение 2x — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу. А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;

2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;

Для вас другие записи этой рубрики:

Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
Спасибо.

Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.

Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

-1 < x |-x — 1| * (-x) / (x^2 — 1) ==>-(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

0 -x(x — 1) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…

В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$ или даже более простому $\left| f\left( x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\Rightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)\

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left( 2x-7 \right)\

Рассмотрим отдельно каждый случай:

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

\2x+3=-2x+7\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

Решение уравнений

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда .

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

4) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет в ответ.

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Почему в уравнении 4 б сохраняется знак + перед 8x, ведь x отрицательный?

Как раскрывать модули

Одно из понятий в математике, которое не всем дается – это модули. Сам модуль всегда положителен, так как представляет собой расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу. Сложность заключается в том, что под модулем может скрываться как положительное, так и отрицательное число, и при раскрытии это надо учесть.

Если в уравнении только один модуль, поступите следующим образом. Перенесите все значения, не содержащиеся под модулем, в правую часть. Затем воспользуйтесь формулой IаI=b => а=±b, причем b≥0 (при b

Таким же образом решайте уравнения, в которых х содержится одновременно и под модулем, и без модуля. Перенесите все части без модуля в правую часть и раскройте модуль, превратив одно уравнение в систему из двух. Здесь уже обязательно надо указывать ОДЗ, так как оно будет участвовать в поиске решения.

Если уравнение содержит два модуля, равных между собой, поступите таким образом. Раскройте второй модуль так, будто это обычное число. Таким образом, у вас получится система из двух уравнений, решите каждое по отдельности и объедините решение. Например, дано уравнение Iх+3I=Iх-7I. После раскрытия модуля вы получите два уравнения: х+3=х-7 и х+3=-(х-7). Первое уравнение решений не имеет (3=-7), а из второго можно получить х=2. Таким образом, решение одно х=2.

Если помимо двух модулей в уравнении есть число, решение несколько усложняется. Чтобы решить такое уравнение, разбейте область допустимых значений на несколько интервалов. Для этого найдите значения х, при которых модули обнуляются (приравняйте модули к нулю). Таким образом, вы получите несколько интервалов, при которых модули раскрываются с разными знаками. Затем рассмотрите отдельно каждый случай, раскрывая модуль с тем знаком, который получается при подстановке одного из значений интервала. В результате вы получите несколько решений, которые необходимо будет объединить. Например, дано уравнение Iх+2I+Iх-1I=5. Приравняв модули к нулю, получите границы интервалов -2 и 1. Рассмотрите первый интервал: х